Introducción

 En análisis funcional y en relacion de las areas de las matemáticas, un operador lineal es una transformación de espacios vectoriales topológicos.

Un operador entre dos espacios normados es un operador lineal acotado si y solo si es un operador lineal continuo.

En este blog se definirá el concepto del núcleo e imagen de una transformación lineal, se probara que son subespacios, se resaltara la relacion  propiedades inyectiva e igualmente se desarrollara algunos ejemplos de como construir bases en el núcleo y en la imagen y como están relacionados.

Por ultimo se explicara la función y relacion de la norma  de un operador lineal acotado teniendo en cuenta que este es una aplicación lineal definida sobre un espacio vectorial normado tal que la norma de sus valores pueden acotarse.

Resumen y relacion de los espacios de Banach con los operadores lineales acotados

 Les comparto este pequeño resumen que nos explica mas detalladamente la relacion que existe de los operadores lineales con los espacios de Banach.

Cabe resaltar que un espacio de Banach es un espacio vectorial normado y completo en la métrica definida por su norma.

 Esto quiere decir que un espacio de Banach es un espacio vectorial ${\displaystyle V}$ sobre el cuerpo de los números reales o el de los complejos con una norma ||·|| tal que toda sucesión de Cauchy (con respecto a la métrica d(x, y) = ||x - y||) en V tiene un límite en V.

 https://www.fceia.unr.edu.ar/~fismat2/apuntes/apun4-fismat2.pdf

Contenidos del Tema: Operadores Lineales Acotados y Norma de un Operador Lineal

 Les comparto la siguiente información de un libro de análisis el cual este capitulo será explicado posteriormente en este documento encontraran información sobre operadores lineales acotados y la norma de un operador lineal  acotado.

Para aclarar sobre este tema los operadores lineales continuos entre espacios normados se les suele llamar tambien operadores lineales acotados.

PDF Operadores lineales

Nucleo e Imagen de un Operador Lineal

 Sean  y  espacios vectoriales sobre  (donde  representa el cuerpo) se satisface que:

Si ${\displaystyle T:V\rightarrow W}$ es lineal, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de ${\displaystyle T_{}^{}}$ de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {ker} (T)=\{\,v\in V:T(v)=0_{W}\,\}}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (T)=\{\,w\in W:\exists v\in V:T(v)=w\,\}}$

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio:

1. ${\displaystyle 0_{V}\in \operatorname {ker} (T)}$ dado que ${\displaystyle T(0_{V})=0_{W}}$ (para probar esto, observar que ${\displaystyle T(0_{V})=T(0_{V}+0_{V})=T(0_{V})+T(0_{V})}$).
2. Dados ${\displaystyle u,v\in \operatorname {ker} (T):T(u+v)=T(u)+T(v)=0_{W}+0_{W}=0_{W}\Rightarrow u+v\in \operatorname {ker} (T)}$
3. Dados ${\displaystyle u\in \operatorname {ker} (T)\land k\in \Re :T(ku)=kT(u)\land T(ku)=k0_{W}=0_{W}\Rightarrow ku\in \operatorname {ker} (T)}$

Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. ${\displaystyle \operatorname {null} (T)=\operatorname {dim} (\operatorname {ker} (T))}$

La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de, al menos, un vector del dominio.

• La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
• El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

${\displaystyle \operatorname {ran} (T)=\operatorname {dim} (\operatorname {Im} (T))}$

Les adjunto un video que nos explica la definicion del nucleo e imagen

https://www.youtube.com/watch?v=qsI7e_A8p_I

VIDEO DE OPERADORES LINEALES ACOTADO

 Le adjunto este video que le explica los conceptos y teoremas de operadores lineales acotado resaltando el nucleo e imagen  y la norma de un operador lineal.

Destacando que un operador acotado es un espacio de Banach es un función continua entre espacios vectoriales.

https://view.knowledgevision.com/presentation/9ac6a1ff58214960acbc8d6fbce1bb45

Prueba Formativa

 Los invito coordialmente a participar en este juego, el cual a la vez es educativo referente al tema explicado en este blog.

Espero que les haiga gustado y le halla llenado sus expectativas.

Gracias por visitar este blog.

https://kahoot.it/challenge/03993716?challenge-id=74d74ae2-fb23-4732-8dc5-9d8df319852f_1605112824687