Nucleo e Imagen de un Operador Lineal

 Sean  y  espacios vectoriales sobre  (donde  representa el cuerpo) se satisface que:

Si ${\displaystyle T:V\rightarrow W}$ es lineal, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de ${\displaystyle T_{}^{}}$ de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {ker} (T)=\{\,v\in V:T(v)=0_{W}\,\}}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (T)=\{\,w\in W:\exists v\in V:T(v)=w\,\}}$

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio:

1. ${\displaystyle 0_{V}\in \operatorname {ker} (T)}$ dado que ${\displaystyle T(0_{V})=0_{W}}$ (para probar esto, observar que ${\displaystyle T(0_{V})=T(0_{V}+0_{V})=T(0_{V})+T(0_{V})}$).
2. Dados ${\displaystyle u,v\in \operatorname {ker} (T):T(u+v)=T(u)+T(v)=0_{W}+0_{W}=0_{W}\Rightarrow u+v\in \operatorname {ker} (T)}$
3. Dados ${\displaystyle u\in \operatorname {ker} (T)\land k\in \Re :T(ku)=kT(u)\land T(ku)=k0_{W}=0_{W}\Rightarrow ku\in \operatorname {ker} (T)}$

Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. ${\displaystyle \operatorname {null} (T)=\operatorname {dim} (\operatorname {ker} (T))}$

La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de, al menos, un vector del dominio.

• La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
• El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

${\displaystyle \operatorname {ran} (T)=\operatorname {dim} (\operatorname {Im} (T))}$

Les adjunto un video que nos explica la definicion del nucleo e imagen

https://www.youtube.com/watch?v=qsI7e_A8p_I